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2017年青岛大学高等代数考研真题816.pdf1 青 岛大 学 2 0 17 年 硕士 研究 生 入学 考试 试题 科 目 代 码 ： 8 1 6 科 目 名 称 ： 高 等 代 数 （ 共 2 页 ） 请 考 生 写 明 题 号 ， 将 答 案 全 部 答 在 答 题 纸 上 ， 答 在 试 卷 上 无 效 一、 （15 分）令 n n j i n j n i b a b a A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ，计算行列式 A d e t 。 二、 （10 分）设 ) ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 x g x g x f x f 是数域 P 上的多项式，并且 ? ? 2 , 1 , , 1 ) ( ) , ( ? ? j i x g x f j i 。证明： ? ? ? ? ? ? ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 2 1 2 2 1 1 x g x g x f x f x g x f x g x f ? 三、 （ 20 分） 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， n ? ? ? , , , 2 1 是 V 的一组基 ， n m m ? , , , , 2 1 ? ? ? 是 V 的一 个线性 无关向 量组 。证明 ：在 n ? ? ? , , , 2 1 中存 在 m n ? 个 向 量 m n i i i ? ? ? ? , , , 2 1 ， 使 得 m n i i i m ? ? ? ? ? ? ? , , , , , , , 2 1 2 1 构 成 V 的 一 组基。 四、 （20 分）设 A 是 n 阶非零实对称矩阵，二次型 A x x T 的符号差为零。 证明：存在 n 维非零实向量 3 2 1 , , ? ? ? ，使得 0 , 0 , 0 3 3 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? A A A T T T 。 五 、 （ 20 分 ） 设 n 元 非 齐 次 线性 方 程 组 b A x ? 有 解 ， 令 ? 是 b A x ? 的 解 向 量， s ? ? ? , , , 2 1 是其导出组 0 ? A x 的基础解系。证明： （1） s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , , 2 1 线性无关； （2） b A x ? 的任意 2 ? s 个解向量 1 2 1 0 , , , , , ? s s ? ? ? ? ? 必线性相关。