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2017年青岛大学数学基础综合考研真题880.pdf1
青 岛大 学 2 0 1 7 年 硕士 研究 生 入学 考试 试题 ( A )
科 目 代 码 ： 8 8 0 科 目 名 称 ： 数 学 基 础 综 合 （ 共 2 页 ）
请 考 生 写 明 题 号 ， 将 答 案 全 部 答 在 答 题 纸 上 ， 答 在 试 卷 上 无 效
1．（10 分）求极限
2
2
3 5 17 2 1
lim
2 4 16 2
n
n
n ? ?
?
? ? .
2．（10 分）证明：
2
2
1
lim 1
1
x
x
x
? ?
?
?
?
．
3．（10 分）设 ( ) f x 对 ( , ) ? ? ? ? 内一切 x 有
2
( ) ( ) f x f x ? ( ) ?
且 ( ) f x 在 0 x ? ， 1 x ? 处连续．证明： ( ) f x 在 ( , ) ? ? ? ? 上为常数．
4．（10 分）设函数 ( ) f x 在[ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内可微．
若 ( ) ( ) 0 f a f b ? ，且 0
2
a b
f
? ? ?
?
? ?
? ?
．证明：必 ( , ) a b ? ? ? ，使得
( ) 0 f ? ? ? ．
5．（10 分）设 ( ) f x 在 ( , ) ? ? ? ? 上有三阶导数，并且 ( ) f x ， ( ) f x ? ? ? 在
( , ) ? ? ? ? 上有界．证明： ( ) f x ? ， ( ) f x ? ? 也在 ( , ) ? ? ? ? 上有界．
6．（10 分）设 , 0, a b ? 函数 ( ) 0 f x ? ，且 ( ) f x 在[ , ] a b ? 上可积，
( ) 0.
b
a
x f x d x
?
?
?
试证明：
2
( ) ( ) .
b b
a a
x f x d x a b f x d x
? ?
?
? ?
7．（10 分）设 ( ) f x 是[ , ] a b 上连续的凸函数．试证：
1 2 1 2
, [ , ], x x a b x x ? ? ? ，有
2
1
1 2 1 2
2 1
( ) ( ) 1
( ) .
2 2
x
x
x x f x f x
f f t d t
x x
? ? ? ?
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