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2020年宁波大学数学分析考研真题671.doc
宁波大学 2020 年硕 士 研 究 生 招 生考 试 初 试 试 题(B 卷)
( 答案必须写在考点提供的答 题纸上)
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科目代码： 671 总分值： 150 科目名称： 数学分析
一. 判 断题 ：认为 正确的 请指 出原因 ，认 为错误 的请 举出反 例（ 本题 30 分， 每题 6 分）
1. 若级 数
?
?
?1 n
n
a 收敛， 则 0 lim ?
? ?
n
n
a 。
2. 函 数在 区间[0 ,1) 连续 ，则 该 函数在[0 ,1) 上一 致连 续。
3. 如 果函 数 ) (x f 在某一 点
0
x 处连 续, 则 ) (x f 在
0
x 处可微 。
4. 设 级数
?
?
?1 n
n
a 收敛 且
?
?
?1 n
n
b 收敛， 则
n
n
n
b a
?
?
?1
收敛。
5. 有界 闭区 间上 连续 函数 一定一 致连 续。
二．( 本题 30 分, 每题 15 分) 请叙述 下面 定理 和 概念：
(1) 请叙 述数 列的 单调 有界 定理。
(2) 请用 ? ? ? 语言 叙述 函数 ) (x f 在某 一点
0
x 处不连 续。
三．( 本题15 分) 计算
2 ( 2 0 1 9 )
(c o s ) x ，其 中2019 表示 2019 次 导数 。
四．( 本题15 分) 求幂 级数
?
?
?
?
1
) 1 (
n
n
n n
x
的收敛 域以 及在 收敛 域内求 这个 级数 的和 。
五．( 本题15 分)请用 ? ? ? 语言证明 ：
2
0
lim (sin ) 0
n
n
x dx
?
??
?
?
。
六 ．(本题15 分)
设 a b ? ? 0 ，证 明：
b
b a
b
a
a
b a ?
? ?
?
ln 。
七 ．(本题15 分)
设 ) (x f 是定 义在 实数 域上 的可 导正函 数， 并且 1 ) 0 ( ), ( 2020 ) ( ' ? ? f x f x f ，求 ) (x f 。
八 ．(本题15 分)
设 ) (x f 是定 义在 实数 域上 的压 缩函数 ，即 ，对 于任 意的 R y x ? , 满足下 列不 等式 ：
| |
3
1
| ) ( ) ( | y x y f x f ? ? ? 。
设 1
1
? x ， 2 ) (
1
? ?
?
n x f x
n n
， 。证明 ：
1. 数列 ? ?
n
x 是一个 柯西 列。
2. 存 在唯 一的 R a ? ，使 得 ) (a f a ? 。
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