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2019年宁波大学抽象代数考博真题3813.pdf宁 波 大 学 2 0 1 9 年 博 士 研 究 生 招 生 考 试 初 试 试 题 ( A 卷 ) ( 答案必须写在考点提供的答题纸上) 第 1 页 共 1 页 科 目 代 码 ： 3813 总 分 值 ： 100 科 目 名 称 ： 抽 象 代 数 本试 卷共 五道大 题， 每道大 题 2 0 分， 总分 1 00 分 . 1 、 令 F 是 任 一 数 域 ， F ? 是 F 的 加 群 ， 又 0 0 a c G | a, b, c F , ab , b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 c H | c F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 证 明 ： （ 1 ） G 对 方 阵 的 乘 法 作 成 一 个 群 ； （ 2 ） H 是 G 的 正 规 子 群 ， 且 H 与 F ? 同 构 . 2 、 设 G 是 四 次 对 称 群 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 4 1 2 3 4 H , , , ? . 求 H 在 G 中 的 共 轭 子 群 . 3 、 证 明 ： x , y , x , y 以 及 2 x , y , 都 是 环 ? ? x , y Z 的 素 理 想 ， 且 2 x , y , 是 极 大 理 想 . 4 、 设 高 斯 整 环 ? ? ? ? i a b i | a , b ? ? ? Z Z . （ 1 ） 证 明 ? ? i Z 中 的 单 位 只 有 1 i ? ? ， . （ 2 ） 给 出 5 在 ? ? i Z 中 的 唯 一 分 解 . 5 、 求 C 在 R 上 的 G a l o i s 群 G a l ( ) C R ， 这 里 R 和 C 分 别 表 示 实 数 域 和 复 数 域 .