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2020年宁波大学高等代数考研真题871.doc 宁波大学 2020 年硕 士 研 究 生 招 生考 试 初 试 试 题(B 卷) ( 答案必须写在考点提供的答 题纸上) 第 1 页 共 1 页 科目代码： 871 总分值： 150 科目名称： 高等代数 本 试题 共 九道 大题 ，总分 共 150 分. 1. (15 分) 试 就实 数域 和 复数域 两种 情况 ，求 1 ( ) 1 nn f x x x x ? ? ? ? ? ? L 的标 准分解 式. 2. (15 分) 设 矩阵 , AB 满足 28 ? ?? A B A B A E ， 其中 1 2 2 0 2 4 0 0 1 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? A ， ? A 是 A 的伴 随矩 阵， E 为 单位矩 阵， 求矩 阵 . B 3. (15 分) 已 知矩 阵 1 2 2 1 0 0 2 2 , 0 1 0 , 2 2 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB a b 问 , ab 为何值 时，A 与 B 相似， 并求 可 逆矩 阵 P 使得 1 . ? ? P A P B 4. (15 分) 设 2 1 0 0 0 a bc ? ? ?? ?? ? ?? ?? ?? A ，这 里 ,, abc 是任 意数， 13 2 i ? ?? ? ，求 1000 . A 5． (15 分) 设 方阵 A 满足 2 + 2 3 . A A E O ?? (1) 求证 4 AE ? 可逆，并 求逆；(2) 讨论 ? A nE 的可逆 性. 6. (20 分) 用正 交变 换化 二次型 222 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 4 4 4 f x x x x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? 为标准 形( 要 求写 出 正交变 换的 矩阵 和相 应的 标准形). 7. (20 分) 已知 3 4 6 1 4 1 1 1 5 0 0 2 1 0 0 1 0 ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? A ， (1) 求 A 的不变 因子 ，初 等因 子和最 小多 项式. (2) 求 A 的若当 标准 形. 8．(15 分) 设 12 , VV 是数域P 上的 线性空 间 ， 1 2 1 2 1 2 ( , ), ( , ) , V V k P ? ? ? ? ? ? ? ? ，规定 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ； 1 2 1 2 ( , ) ( , ) k k k ? ? ? ? ? . (1) 证明 12 VV ? 关于 以上 运算 构成 数域P 上的线 性空 间； (2) 设 dim 1 Vm ? , dim 2 Vn ? ，求 dim 12 () VV ? . 9. (20 分) 设 A 为复 数域C 上的n 阶方 阵， 其特 征多 项式 为 1 ( ) ( ) ( ), n f x x a x b ? ? ? ? 这里ab ? . 假设 A 的 任 意 三 个 特 征 向 量 都 是 线 性 相 关的 . 对于 , C ? ? 以及正整数 , l 证明 ： ? ? , | ( ) 0 ? ? ? ? ? ? ? ? AE nl ln VC 是C 上线性空间 n C 的 A 的不变子空间，并求C 上线性空间 ,l V ? 的维数.