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2018年宁波大学高等代数考研真题871.doc宁波大学 2018 年硕 士 研 究 生 招 生考 试 初 试 试 题(A 卷)
( 答案必须写在考点提供的答 题纸上)
第 1 页 共 2 页
科目代码： 871 总分 值： 150 科目名称： 高等代数
一、 计 算题 （每小 题 10 分， 共 60 分）
1. 设有 多 项 式 b ax x x x f ? ? ? ?
2 4
3 ) ( 与 2 2 ) (
2
? ? ? ax x x g . 若 ) (x g 整除 ) (x f , 求 a
与b 的值.
2. 设 3 n ? ， 计算n 阶行列式
? ? ? ?
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?
?
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?
?
b
b
b
a a a a
n
? ?
.
3. 设
?
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?
?
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?
?
?
?
?
3 2
2 3
A ， 利用正交相似变换求 ? ?
9 10
5A A A ? ? ? .
4. 设A 是n 阶正定矩阵 ） （ 1 ? n ,
n
R α ? ， 且 α 是非零列向量. 令
T
A αα B ? , 求B 的
最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基.
5． 用非退化线性替换将二次型
? ?
4 3 2 1
, , , x x x x f
4 3 3 2 2 1
2
4
2
3
2
2
2
1
2 2 2 x x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ?
化为标准形，再进一步化为规范形（分实系数、复系数两种情形），并写出所作的
非退化线性替换.
6. 设三阶方阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3 1 1
1 1 1
0 0 3
A ，求A 的初等因子及若当标准形.
二、 证 明题（ 每小 题 15 分, 共90 分）
1. 证明： 1 1 ? ?
n d
x | x , 当且仅当 n | d .
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