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2010年温州大学高等代数考研真题816.pdf 20 20 20 2010 10 10 10 年 年 年 年硕士研究生招生入学考试试题 硕士研究生招生入学考试试题 硕士研究生招生入学考试试题 硕士研究生招生入学考试试题 科目代码及名称 科目代码及名称 科目代码及名称 科目代码及名称: 816 高等代数 高等代数 高等代数 高等代数（ （ （ （A） ） ） ） 适用 适用 适用 适用专业 专业 专业 专业： ： ： ：应用数学 应用数学 应用数学 应用数学 （ （ （ （请 请 请 请考生在答题纸上答题 考生在答题纸上答题 考生在答题纸上答题 考生在答题纸上答题， ， ， ，在此试题纸上答题无效 在此试题纸上答题无效 在此试题纸上答题无效 在此试题纸上答题无效） ） ） ） 1 （ （ （ （12 分 分 分 分） ） ） ） 、 、 、 、设 设 设 设 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 n n n n n n x x x a a a f x a a a -- - - -- - - -- - - - - - - - - - - - - - - = = = = L L M M M M L ， ， ， ，其中 其中 其中 其中 1 2 1 , , L n a a a -- - - 是互不相同的数 是互不相同的数 是互不相同的数 是互不相同的数。 。 。 。 （ （ （ （1） ） ） ）证明 证明 证明 证明 ( ) f x 是一个 是一个 是一个 是一个 1 n -- - - 次多项式 次多项式 次多项式 次多项式； ； ； ； （ （ （ （2） ） ） ）求出 求出 求出 求出 ( ) f x 的所有根 的所有根 的所有根 的所有根。 。 。 。 2 （ （ （ （24 分 分 分 分） ） ） ） 、 、 、 、 设 设 设 设 n 阶矩阵 阶矩阵 阶矩阵 阶矩阵 A、 、 、 、B 满足条件 满足条件 满足条件 满足条件： ： ： ： A B AB + = + = + = + = 。 。 。 。 （ （ （ （1） ） ） ）证明 证明 证明 证明 A E -- - - 是 是 是 是可逆矩阵 可逆矩阵 可逆矩阵 可逆矩阵； ； ； ； （ （ （ （2） ） ） ）证明 证明 证明 证明 AB BA = = = = ； ； ； ； （ （ （ （3） ） ） ）如果 如果 如果 如果 1 3 0 2 1 0 0 0 2 B -- - - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， ， ，试求 试求 试求 试求 A。 。 。 。 3（ （ （ （10 分 分 分 分） 、 ） 、 ） 、 ） 、已知 已知 已知 已知 A、 、 、 、B 均为 均为 均为 均为 n 阶正定矩阵 阶正定矩阵 阶正定矩阵 阶正定矩阵， ， ， ，证明 证明 证明 证明： ： ： ： A B + + + + 也是正定矩阵 也是正定矩阵 也是正定矩阵 也是正定矩阵。 。 。 。 4（ （ （ （12 分 分 分 分） 、 ） 、 ） 、 ） 、证明多项式 证明多项式 证明多项式 证明多项式 2 ( ) 1 2! ! p x x f x x p = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + L 在有理数域上不可约 在有理数域上不可约 在有理数域上不可约 在有理数域上不可约， ， ， ，其中 其中 其中 其中 p为素 为素 为素 为素 数 数 数 数。 。 。 。 5（ （ （ （18 分 分 分 分） 、 ） 、 ） 、 ） 、用正交线性替换把二次型 用正交线性替换把二次型 用正交线性替换把二次型 用正交线性替换把二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 2 2 4 4 8 f x x x x x x x x x x x x = - - - + + = - - - + + = - - - + + = - - - + +