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2007年温州大学高等代数考研真题.pdf 2007 2007 2007 2007 年研究生 年研究生 年研究生 年研究生入学考试试题 入学考试试题 入学考试试题 入学考试试题 考试科目 考试科目 考试科目 考试科目： ： ： ： 高等代数 高等代数 高等代数 高等代数（ （ （ （A） ） ） ） 报考学科 报考学科 报考学科 报考学科、 、 、 、专业 专业 专业 专业： ： ： ：应用数学 应用数学 应用数学 应用数学 请注意 请注意 请注意 请注意:全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上， ， ， ，否则不给分 否则不给分 否则不给分 否则不给分。 。 。 。 1 （ （ （ （10分 分 分 分） ） ） ）已知 已知 已知 已知 (1) 1, (2) 2, f f = = 求多项式 求多项式 求多项式 求多项式 ( ) f x 除以 除以 除以 除以 ( 1)( 2) x x - - 的余式 的余式 的余式 的余式。 。 。 。 2 （ （ （ （10分 分 分 分） ） ） ）证明 证明 证明 证明： ： ： ：如果 如果 如果 如果 ( ( ), ( )) 1, f x g x = 那么 那么 那么 那么 ( ( ) ( ), ( ) ( )) 1. f x g x f x g x + = 3 （ （ （ （15分 分 分 分） ） ） ）证明 证明 证明 证明： ： ： ： ( ) 1 2 3 4 4 1 2 3 4 2 2 2 2 1 4 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4 1 1 1 1 ( ). j i i j x x x x D x x x x x x x x x x x x x x ≤ < ≤ = = + + + - ∏ 4 （ （ （ （10分 分 分 分） ） ） ） 设 设 设 设 A是 是 是 是 n阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵， ， ， ，α是 是 是 是 n维列向量 维列向量 维列向量 维列向量， ， ， ，b为常数 为常数 为常数 为常数。 。 。 。记分块矩阵 记分块矩阵 记分块矩阵 记分块矩阵 , , | | E O A P Q A A b α α α * ? ? ? ? = = ? ? ? ? ′ ′ - ? ? ? ? A * 是 是 是 是 A的伴随矩阵 的伴随矩阵 的伴随矩阵 的伴随矩阵。 （ 。 （ 。 （ 。 （1） ） ） ）计算 计算 计算 计算PQ并简化 并简化 并简化 并简化； （ ； （ ； （ ； （2） ） ） ）证明 证明 证明 证明 Q可逆的充要条件是 可逆的充要条件是 可逆的充要条件是 可逆的充要条件是 1 . A b α α - ′ ≠ 5 （ （ （ （30分 分 分 分） ） ） ） 设 设 设 设 A， ， ， ，B是 是 是 是 n阶方阵 阶方阵 阶方阵 阶方阵， ， ， ，齐次线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组 AX=0和 和 和 和 BX=0分别有 分别有 分别有 分别有 k, m个线 个线 个线 个线 性无关的解向量 性无关的解向量 性无关的解向量 性无关的解向量。 （ 。 （ 。 （ 。 （1） ） ） ）证明 证明 证明 证明(AB)X=0至少有 至少有 至少有 至少有 max(k. m)个线性无关的解向量 个线性无关的解向量 个线性无关的解向量 个线性无关的解向量； （ ； （ ； （ ； （2） ） ） ）若 若 若 若 k+m>n. 证明 证明 证明 证明(A+B)X=0必有非零解 必有非零解 必有非零解 必有非零解； （ ； （ ； （ ； （3） ） ） ）如果 如果 如果 如果 AX=0和 和 和 和 BX=0无公共的非零解向量 无公共的非零解向量 无公共的非零解向量 无公共的非零解向量， ， ， ，且 且 且 且 k+m=n. 证明 证明 证明 证明 n F 中任一向量可唯一表成 中任一向量可唯一表成 中任一向量可唯一表成 中任一向量可唯一表成 , , α β γ β γ = + 分别是 分别是 分别是 分别是 AX=0和 和 和 和 BX=0的解向量 的解向量 的解向量 的解向量。 。 。 。 6 （ （ （ （15分 分 分 分） ） ） ）设 设 设 设 1 2 , ,..., n α α α 为一线性无关的向 为一线性无关的向 为一线性无关的向 为一线性无关的向量组 量组 量组 量组， ， ， ， β为向量 为向量 为向量 为向量。 。 。 。证明 证明 证明 证明： ： ： ：要么向量组 要么向量组 要么向量组 要么向量组 第 第 第 第 1 页 页 页 页， ， ， ，共 共 共 共 2 页 页 页 页