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2007年温州大学高等代数考研真题.pdf
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考试科目 考试科目 考试科目 考试科目: : : : 高等代数 高等代数 高等代数 高等代数( ( ( (A) ) ) ) 报考学科 报考学科 报考学科 报考学科、 、 、 、专业 专业 专业 专业: : : :应用数学 应用数学 应用数学 应用数学
请注意 请注意 请注意 请注意:全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上, , , ,否则不给分 否则不给分 否则不给分 否则不给分。 。 。 。
1 ( ( ( (10分 分 分 分) ) ) )已知 已知 已知 已知 (1) 1, (2) 2, f f = = 求多项式 求多项式 求多项式 求多项式 ( ) f x 除以 除以 除以 除以 ( 1)( 2) x x - - 的余式 的余式 的余式 的余式。 。 。 。
2 ( ( ( (10分 分 分 分) ) ) )证明 证明 证明 证明: : : :如果 如果 如果 如果 ( ( ), ( )) 1, f x g x = 那么 那么 那么 那么 ( ( ) ( ), ( ) ( )) 1. f x g x f x g x + =
3 ( ( ( (15分 分 分 分) ) ) )证明 证明 证明 证明: : : :
( )
1 2 3 4
4 1 2 3 4 2 2 2 2
1 4 1 2 3 4
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1
( ).
j i
i j
x x x x
D x x x x x x
x x x x
x x x x
≤ < ≤
= = + + + - ∏
4 ( ( ( (10分 分 分 分) ) ) ) 设 设 设 设 A是 是 是 是 n阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵, , , ,α是 是 是 是 n维列向量 维列向量 维列向量 维列向量, , , ,b为常数 为常数 为常数 为常数。 。 。 。记分块矩阵 记分块矩阵 记分块矩阵 记分块矩阵
, ,
| |
E O A
P Q
A A b
α
α α
* ? ? ? ?
= =
? ? ? ?
′ ′ - ? ? ? ?
A
* 是 是 是 是 A的伴随矩阵 的伴随矩阵 的伴随矩阵 的伴随矩阵。 ( 。 ( 。 ( 。 (1) ) ) )计算 计算 计算 计算PQ并简化 并简化 并简化 并简化; ( ; ( ; ( ; (2) ) ) )证明 证明 证明 证明 Q可逆的充要条件是 可逆的充要条件是 可逆的充要条件是 可逆的充要条件是
1
. A b α α
- ′ ≠
5 ( ( ( (30分 分 分 分) ) ) ) 设 设 设 设 A, , , ,B是 是 是 是 n阶方阵 阶方阵 阶方阵 阶方阵, , , ,齐次线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组 AX=0和 和 和 和 BX=0分别有 分别有 分别有 分别有 k, m个线 个线 个线 个线
性无关的解向量 性无关的解向量 性无关的解向量 性无关的解向量。 ( 。 ( 。 ( 。 (1) ) ) )证明 证明 证明 证明(AB)X=0至少有 至少有 至少有 至少有 max(k. m)个线性无关的解向量 个线性无关的解向量 个线性无关的解向量 个线性无关的解向量; ( ; ( ; ( ; (2) ) ) )若 若 若 若 k+m>n.
证明 证明 证明 证明(A+B)X=0必有非零解 必有非零解 必有非零解 必有非零解; ( ; ( ; ( ; (3) ) ) )如果 如果 如果 如果 AX=0和 和 和 和 BX=0无公共的非零解向量 无公共的非零解向量 无公共的非零解向量 无公共的非零解向量, , , ,且 且 且 且 k+m=n.
证明 证明 证明 证明
n
F 中任一向量可唯一表成 中任一向量可唯一表成 中任一向量可唯一表成 中任一向量可唯一表成 , , α β γ β γ = + 分别是 分别是 分别是 分别是 AX=0和 和 和 和 BX=0的解向量 的解向量 的解向量 的解向量。 。 。 。
6 ( ( ( (15分 分 分 分) ) ) )设 设 设 设
1 2
, ,...,
n
α α α 为一线性无关的向 为一线性无关的向 为一线性无关的向 为一线性无关的向量组 量组 量组 量组, , , , β为向量 为向量 为向量 为向量。 。 。 。证明 证明 证明 证明: : : :要么向量组 要么向量组 要么向量组 要么向量组
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