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2007年温州大学数学分析考研真题.pdf 200 200 200 2007 7 7 7 年研究生 年研究生 年研究生 年研究生入学考试试题 入学考试试题 入学考试试题 入学考试试题 考试科目 考试科目 考试科目 考试科目： ： ： ： 数学分析 数学分析 数学分析 数学分析(A) 报考学科 报考学科 报考学科 报考学科、 、 、 、专业 专业 专业 专业： ： ： ： 应用数学 应用数学 应用数学 应用数学 请注意 请注意 请注意 请注意:全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上 全部答案必须写在答题纸上， ， ， ，否则不给分 否则不给分 否则不给分 否则不给分。 。 。 。 １ １ １ １． ． ． ．(10 (10 (10 (10 分 分 分 分) ) ) ) 证明 证明 证明 证明： ： ： ：数列 数列 数列 数列 n {sin }不收敛 不收敛 不收敛 不收敛 . . . . ２ ２ ２ ２． ． ． ．(10 (10 (10 (10 分 分 分 分) ) ) ) 已知 已知 已知 已知 (0) 0 f = = = = ， ， ， ， (0) f ′ ′ ′ ′ 存在 存在 存在 存在， ， ， ，求极限 求极限 求极限 求极限： ： ： ： ( ) 0 lim f x x x + + + + → → → → ． ． ． ． ３ ３ ３ ３． ． ． ．(15 (15 (15 (15 分 分 分 分) ) ) ) 计算积分 计算积分 计算积分 计算积分 n n t n dt t - - - - - - - - ? ? ? ?         ? ? ? ? 0 1 (1 ) ． ． ． ． ４ ４ ４ ４． ． ． ．(15 (15 (15 (15 分 分 分 分) ) ) ) 已知 已知 已知 已知 ( ) f x ′′ ′′ ′′ ′′ 连续 连续 连续 连续， ， ， ， (0) (1) 0 f f = = = = = = = = ， ， ， ， ( ) f x A ′′ ′′ ′′ ′′ < < < < ， ， ， ， 求证 求证 求证 求证： ： ： ： 2 ( ) , [0,1] A f x x ′ ′ ′ ′ ≤ ∈ ≤ ∈ ≤ ∈ ≤ ∈ ． ． ． ． ５ ５ ５ ５． ． ． ．(10 (10 (10 (10 分 分 分 分) ) ) ) 设 设 设 设 ( ) f x 是以 是以 是以 是以T 为周期的连续周期函数 为周期的连续周期函数 为周期的连续周期函数 为周期的连续周期函数， ， ， ，求证 求证 求证 求证： ： ： ： （ （ （ （1 1 1 1） ） ） ） 0 0 ( ) ( ) ( ) x T x x f t dt f t dt T φ φ φ φ = - = - = - = - ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 也是以 也是以 也是以 也是以T 为周期的周期函数 为周期的周期函数 为周期的周期函数 为周期的周期函数； ； ； ； （ （ （ （2 2 2 2） ） ） ） 0 0 1 1 lim ( ) ( ) x T x f x dx f t dt x T →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ． ． ． ． ６ ６ ６ ６． ． ． ．(15 (15 (15 (15 分 分 分 分) ) ) ) 设 设 设 设 ( ) f x 在 在 在 在 0 + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ [ ) ， ， ， ， 连续 连续 连续 连续， ， ， ， x f x A →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = ≠ = ≠ = ≠ = ≠ lim ( ) 0， ， ， ， 求证 求证 求证 求证： ： ： ： o f x xdx +∞ +∞ +∞ +∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )sin 发散 发散 发散 发散． ． ． ． ７ ７ ７ ７． ． ． ．(15 (15 (15 (15 分 分 分 分) ) ) ) 设 设 设 设 1 n n a ∞ = ∑ 是收敛的正项级数 是收敛的正项级数 是收敛的正项级数 是收敛的正项级数， ， ， ，并且 并且 并且 并且{ } n a 单调下降收敛于零 单调下降收敛于零 单调下降收敛于零 单调下降收敛于零． ． ． ． 证明 证明 证明 证明： ： ： ： 1 1 ( ) n n n n a a ∞ + = - ∑ 收敛 收敛 收敛 收敛， ， ， ，而且 而且 而且 而且 1 1 1 ( ) n n n n n n a a a ∞ ∞ + = = - = ∑ ∑ ． ． ． ． 第 第 第 第 １ １ １ １ 页 页 页 页， ， ， ，共 共 共 共 ２ ２ ２ ２ 页 页 页 页