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2008年温州大学高等代数考研真题816.pdf 200 200 200 2008 8 8 8 年 年 年 年硕士研究生招生入学考试试题 硕士研究生招生入学考试试题 硕士研究生招生入学考试试题 硕士研究生招生入学考试试题 科目代码及名称 科目代码及名称 科目代码及名称 科目代码及名称: 816 高等代数 高等代数 高等代数 高等代数 A 适用 适用 适用 适用专业 专业 专业 专业： ： ： ：应用数学 应用数学 应用数学 应用数学 （ （ （ （请 请 请 请考生在答题纸上答题 考生在答题纸上答题 考生在答题纸上答题 考生在答题纸上答题， ， ， ，在此试题纸上答题无效 在此试题纸上答题无效 在此试题纸上答题无效 在此试题纸上答题无效） ） ） ） 1 （ （ （ （15分 分 分 分） ） ） ）证明或举例说明以下命题是否成立 证明或举例说明以下命题是否成立 证明或举例说明以下命题是否成立 证明或举例说明以下命题是否成立 1) a为多项式 为多项式 为多项式 为多项式 ( ) f x的 的 的 的 1 m + 重根 重根 重根 重根， ， ， ，则 则 则 则a为 为 为 为 '( ) f x的 的 的 的m重根 重根 重根 重根； ； ； ； 2) a为多项式 为多项式 为多项式 为多项式 '( ) f x的 的 的 的 m 重根 重根 重根 重根， ， ， ，则 则 则 则a为 为 为 为 ( ) f x的 的 的 的 1 m + 重根 重根 重根 重根。 。 。 。 2 （ （ （ （10分 分 分 分） ） ） ）计算 计算 计算 计算 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n a a D a + + = + L L L L L L L ,其中 其中 其中 其中 1 2 0 n aa a ≠ L 。 。 。 。 3 （ （ （ （10分 分 分 分） ） ） ）设 设 设 设 , A B都是 都是 都是 都是 n 阶方阵 阶方阵 阶方阵 阶方阵， ， ， ，且 且 且 且 0 AB = ， ， ， ，证明 证明 证明 证明 ( ) ( ) R A R B n + ≤ 。 。 。 。 4 （ （ （ （20分 分 分 分） ） ） ）设 设 设 设η是非齐次线性方程组 是非齐次线性方程组 是非齐次线性方程组 是非齐次线性方程组Ax b = 的一个解 的一个解 的一个解 的一个解, 1 , , n r ξ ξ - L 是对应的齐次 是对应的齐次 是对应的齐次 是对应的齐次 线性方程 线性方程 线性方程 线性方程组的一个基础解系 组的一个基础解系 组的一个基础解系 组的一个基础解系 ,证明 证明 证明 证明 :(1) 1 , , , n r η ξ ξ - L 线性无关 线性无关 线性无关 线性无关； ； ； ； (2) 1 , , , n r η η ξ η ξ - + + L 线性无关 线性无关 线性无关 线性无关。 。 。 。 5 （ （ （ （20分 分 分 分） ） ） ）非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 2, 2 , 2 . x x x x x x x x x λ λ ?- + + = - ? - + = ? ? + - = ? 当 当 当 当 λ 取何值时有解 取何值时有解 取何值时有解 取何值时有解？ ？ ？ ？并求出 并求出 并求出 并求出 它的解 它的解 它的解 它的解。 。 。 。 6 （ （ （ （20 分 分 分 分） ） ） ）设 设 设 设 α α L 1 , , n 是 是 是 是 n 维线性空间 维线性空间 维线性空间 维线性空间V的一组基 的一组基 的一组基 的一组基, A 是一 是一 是一 是一 × n s 矩阵 矩阵 矩阵 矩阵, ( ) β β α α = L L 1 1 ( , , ) , , . s n A证明 证明 证明 证明: β β L 1 ( , , ) s L 的维数等于 的维数等于 的维数等于 的维数等于 A的秩 的秩 的秩 的秩. 第 第 第 第 1 页 页 页 页， ， ， ，共 共 共 共 2 页 页 页 页