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2012年青岛科技大学高等代数考研真题.doc 第 页（ 共2 页 ） 1 青 岛 科 技 大 学 二 ○一二 年 硕士 研究 生 入 学考 试试题 考试科目： 高等代数 注意事 项：1． 本试 卷共 七 道 大题 ，满 分 150 分； 2 ． 本卷 属 试 题 卷， 答题 另有 答 题 卷 ，答 案一 律 写在答 题 卷 上，写 在该 试 题卷 上或草 纸上 均无 效。 要注 意试卷 清洁 ，不 要在 试卷 上涂划 ； 3．必 须用 蓝、 黑钢 笔或 签 字笔答 题， 其它 均无 效。 ﹡﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡﹡ ﹡﹡ 一（20 分） 求 ? ? 矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? ? ? ? 的不 变因 子。 二（20 分） 设 A 是数 域P 上 m n ? 矩阵, B 是数域P 上 s m ? 矩阵 ，试 证： )] ( ), ( min[ ) ( B r A r AB r ? . 三（20 分） A ,B 分别 是 m n ? 和 n m ? 矩阵, 若 0 ? ? ， 证明 ： | | | | BA E AB E m m n n ? ? ? ? ? ? ? . 四（20 分 ） 证明： 秩等 于r 的对称 矩阵 可以表 成r 个秩等 于 1 的对 称矩阵 之和. 五（20 分） 设 ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1 1 x dg x cf x g x bg x af x f ? ? ? ? ，且 0 ? ? bc ad ，证 明： )) ( ), ( ( )) ( ), ( ( 1 1 x g x f x g x f ? . 六（20 分 ） 假设向 量 ? 可以由 向量 组 r ? ? ? , , , 2 1 ? 线性表出 ， 证 明： 表示 法是 唯一的 充分 必要 条件 是