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2011年青岛科技大学高等代数考研真题.doc
青 岛 科 技 大 学
二 O 一一 年硕 士研 究生 入学 考 试 试 题
考 试科 目： 高 等代 数
注意事 项：1． 本试 卷共 7 道大题 （共 7 道 小题 ） ，满分 150 分；
2 ． 本 卷属 试 题 卷， 答 题另 有答题 卷， 答案 一律 写在 答题卷 上， 写在 该试 题卷
上或草 纸上 均无 效。 要注 意试卷 清洁 ，不 要在 试卷 上涂划 ；
3 ．必 须用 蓝、 黑钢 笔或 签 字笔答 题， 其它 均无 效。
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一（20 分 ）
证明两个数字矩阵 A ,B 相似的必要条件是它们有相同的特征多项式 和 相同的最小多项
式.
二（20 分 ）
设 A ,B ,C 为任意 三个 矩阵,乘积ABC 有意义,求 证：
) ( ) ( ) ( ) ( B r BC r AB r ABC r ? ? ?
三（20 分）
A ,B 分别 是 m n ? 和 n m ? 矩阵, 证明 | | | | BA E AB E
E A
B E
m n
n
m
? ? ? ? .
四（20 分）
设 AX X x x x f
n
'
2 1
) , , , ( ? ? 为n 元实二 次型,如果有 两 个向量
1
X ,
n
R X ?
2
,使
. 0 ) ( , 0 ) (
2 1
? ? X f X f 证 明 存 在 两 个 线 性 无 关 的 向 量
n
R Y Y ?
2 1
, , 使
. 0 ) ( ) (
2 1
? ? Y f Y f
五（20 分）
设V 是复 数域 上的n 维线 性空 间，A,B 是V 的线性 变换 ， 且 AB=BA ， 证明 ：
? 1 如果
0
? 是A 的一个 特征 值， 那么
0
?
V （特征 子空 间） 是B 的不变 子空 间；
? 2 A,B 至少 有 一 个公 共的 特 征向量 。
六（20 分）
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