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2010年青岛科技大学高等代数考研真题.doc青 岛 科 技 大 学 二 O 一 O 年硕士研究生 入学考试试 题 考试科目 ： 高等代数 注意事 项：1． 本试 卷共 5 道大 题（ 共计 7 个 小题 ） ，满 分 150 分； 2 ．本卷属试 题 卷 ， 答题 另有 答 题 卷 ， 答 案 一 律写 在答 题 卷 上， 写 在 该 试题 卷上或 草纸 上均 无效 。要 注意试 卷清 洁， 不要 在试 卷上涂 划； 3 ．必 须用 蓝、 黑钢 笔或 签字笔答 题， 其它 均无 效。 ﹡﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡﹡ ﹡ 一． （30 分） 试 证 ： 设 向 量 组 ①: r ? ? ? , , 2 1 ? ， 线性无关，并且 可 由 向 量 组 ② ： s ? ? ? , , , 2 1 ? 线性表 出， 则 1). s r ? ； 2). 并且可适当 地排列向量 组②中向量的次 序，使得 ①替换②中前r 个向量后 得 到 的向量 组 ③: s r r ? ? ? ? ? , , , , , , 1 2 1 ? ? ? 与向量 组② 等 价。 二． （30 分） 1. 设 D C B A , , , 都是n 阶方 阵 ， 且 0 ? A ， CA AC ? ,试证 CB AD D C B A ? ? 。 2. 试证如果两个r 阶矩阵 A 与C 的行向量组分别构 成同一个 齐次线性方程组 的基 础解系 ，则 必定 存在 一个r 阶满秩 阵B ,使得 BC A ? 。 三． （30 分） 1. 设 A 是n 阶方阵( 3 ? n ),证明 ： ? ? * * A = A A n 2 ? 。 2. 设 A 是一 个 n n ? 矩阵， A A ? 2 ,证明 A 相似 于一个 对角 矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 1 1 ? ? 四． （30 分 ） 试证 ： 如 果已 知 既约分 数 q p 是整系 数多 项式 ) (x f 的根 ， 则 ) 1 ( | f p q ? ， ) 1 ( | ? ? f p q 　 ，且对 任何 的整 数m 有 ) ( | m f p mq ? 。 五． （30 分） 设 A 是n 级实 对称 矩 阵，且 E A ? 2 ，证 明： 存在 正交 矩阵T 使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r n r E E AT T 0 0 1 。 第 1 页 （共 1 页）